מספרים אי-רציונליים ומספרים טרנסצנדנטיים. שי

השאלה המלאה: קראתי פעם שיש יותר מספרים אי-רציונליים מרציונליים מכיוון שהם אינם בני מניה, ולכן גם אם יוסיפו להם את המספרים הרציונליים העוצמה שלהם שווה למספרים הממשיים, המורכבים מרציונליים ומאי-רציונליים. בפן התיאורטי הבנתי את התשובה, אבל למה אני לא נתקל כמעט במספרים אי-רציונליים, לעומת הרציונליים שמשתמשים בהם הרבה? האם יש דרך "לגלות" מספרים רציונליים? אני לא בטוח שאני זוכר נכון (זה היה לפני הרבה זמן) אבל נראה לי שהיה כתוב שיש יותר מספרים טרנסצנדנטיים מאשר לא טרנסצנדנטיים באי-רציונליים, ובהם אני כמעט לא נתקל במהלך לימודיי בתיכון. איך זה מסתדר?

ובכן, קודם כל זכרת נכון. אכן "עוצמת" המספרים הממשיים (שאינם בני מניה) גדולה מ"עוצמת" המספרים הרציונליים, שהם בני מניה ושקולים בעוצמתם למספרים הטבעיים. אך כדי לענות על שאלתך בצורה מקיפה נגדיר תחילה את קבוצות המספרים השונות.

המספרים הטבעיים, שמסומנים באות N, הם קבוצת המספרים הקלה ביותר לתפיסה, כיוון שאנחנו משתמשים בהם לספירה. הקבוצה הזאת כוללת את כל המספרים החיוביים והשלמים (ולפעמים גם את האפס). אפשר לומר שזו המערכת הקדומה ביותר שמאפשרת את פעולת הספירה של עצמים מוחשיים בעולם – למשל פירות.

המספרים השלמים, שמסומנים באות Z, כוללים את המספרים הטבעיים, את האפס ואת המספרים השליליים. הקבוצה הזאת נותנת פתרון לבעית החיסור – למשל כמה זה 5 פחות 7?

המספרים הרציונליים, שמסומנים באות Q, כוללים את המספרים השלמים ואת כל השברים של מספרים שלמים מהצורה p/q כאשר p ו-q הם מספרים שלמים. הקבוצה הזאת נותנת פתרון גם לבעיית החילוק – אם ברשותי כיכר לחם אחת וברצוני להתחלק בה איתך, כמה כיכרות יהיו לכל אחד מאיתנו? מקור השם "רציונליים" הוא במילה "ratio" שפירושה יחס, כלומר חילוק, ולא במילה "רציונל" (היגיון), כפי שיש מי שחושבים.

סוגי מספרים

המספרים הממשיים, שמסומנים ב-R-REAL, הם קבוצה שההגדרה שלה מתמטית, וכאן כבר מתחיל להיות קשה להסביר בשפה פשוטה את הכוונה. ככלל מדובר ב"כל המספרים". תחילה הוגדרו המספרים הממשיים כאוסף של כל ה"אורכים של קטעים" על הקו הישר, ולכן היא נקראת לפעמים "הישר הממשי". בשפה מתמטית טהורה, מקובל להגדיר את הממשיים כ"שדה סדור שלם מינימלי", אך כפי שהבנת לכל אחת מהמילים במתמטיקה משמעות עמוקה ומדויקת שדורשת הסבר נפרד.

בהמשך נוספו עוד קבוצות מספרים, כמו המספרים המרוכבים, הקוונטריונים, ועוד, שכל אחת מהן מילאה תפקיד חשוב בהתפתחות המתמטיקה ובפתרון בעיות מתמטיות ופיזיקליות, אך לצורך ההסבר נסתפק בזה.

כעת. לפי הבנייה, לכל "גובה" יש רק מספר סופי של פולינומים ולכל פולינום כזה רק מספר סופי של שורשים, וכך נוכל לסדר את המספרים האלגבריים. זו רק סקיצה של ההוכחה, כמובן.

המסקנה, אם כן, היא שאכן עוצמת המספרים הממשיים היא גדולה מעוצמת הרציונליים, וגם גדולה מעוצמת המספרים האלגבריים. לכן יוצא שעוצמת המספרים הטרנסצנדנטיים היא הגדולה ביותר.

לשאלתך מדוע איננו נתקלים בהם, קיימים כמה מספרים אי-רציונליים מפורסמים מאוד שנתקלים בהם גם בתיכון ולפעמים אפילו קודם. כאלה הם π, שהוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו, ו-e, שהוא"בסיס הלוגריתם הטבעי". אך למען האמת די מסובך למצוא מספרים טרנסצנדנטיים, וגם ההוכחה לכך ש-πו-e  אינם אלגבריים נמצאה רק בסוף המאה ה-19.

בנייה של מספרים רציונליים היא תהליך פשוט ביותר – כל מנה (חלוקה) של שני מספרים שלמים תיתן מספר רציונלי. בנוסף, כל פיתוח עשרוני שהוא מחזורי (כלומר חוזר על עצמו) הוא פיתוח של מספר רציונלי. למשל 41/333=0.123123123123123123123....

גם בנייה של מספרים אלגבריים היא משימה פשוטה. כל שורש של משוואה מהצורה

ייתן מספר אלגברי.

השאלה איך לגלות ולבנות מספרים שיהיו טרנסצנדנטיים, כלומר לא-אלגבריים, העסיקה את טובי המתמטיקאים במשך שנים רבות ואפילו הבעיה השביעית של הילברט (שמיפה את הבעיות הפתוחות במתמטיקה בתקופתו) באה לענות על הצורך הזה. באתר וולפראם מופיעה רשימה מקיפה של המספרים הטרסצנדנטיים והדרכים לבנייתם, כולל שנת הגילוי. חלק מהם הם מספרים שתכונת הטרנסצנדנטיות שלהם הוכחה רק לאחרונה.

העובדה שיש כל כך הרבה יותר מספרים שלא שמעת עליהם במהליך לימודיך דומה לעובדה שיש המוני סינים בעולם, אך במהלך לימודיך התיכוניים כמעט שלא פגשת בהם, כפי שמסביר אריאל זילבר למטה. אחרי שתסיים את לימודיך תוכל לנסוע לסין, או לחילופין ללכת ללמוד מתמטיקה.
 

כרמל שור
המחלקה לכימיה פיסיקלית
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.